Chương 3 – Không gian vector

Cập nhật ngày 23/08/2022 bởi mychi

Bài viết Chương 3 – Không gian vector thuộc chủ đề về Giải Đáp Thắc Mắt thời gian này đang được rất nhiều bạn quan tâm đúng không nào !! Hôm nay, Hãy cùng Viết Văn tìm hiểu Chương 3 – Không gian vector trong bài viết hôm nay nhé ! Các bạn đang xem bài : “Chương 3 – Không gian vector”

Đánh giá về Chương 3 – Không gian vector

Xem nhanh

Các bạn có thể trao đổi trực tiếp với cô qua facebook https://www.facebook.com/giang.le.509511 nhé
Đây là file bài tập tự luận và bài tập trắc nghiệm của môn ĐSTT (lưu ý trắc nghiệm, đáp án đúng đều là A).
https://drive.google.com/drive/folders/1gNW_61tgw4mCvNWiDI-JDPVb085X0gIM?usp=sharing

I/ Các khái niệm cơ bản của không gian vector

1. Định nghĩa không gian vector

Cho tập VVV là tập hợp khác rỗng và 2 phép toán cộng 2 vector và nhân vector với một số thỏa mãn 8 tiên đề.

Nghe thì kinh khủng, nhưng nó cũng rất là bình thường, tập hợp là gì thì chắc chúng ta không còn xa lạ, nhưng để một tập là một không gian vector thì trước tiên nó khác rỗng (≠∅)(neq emptyset)(=∅), tức số phần tử khác 0.

Còn việc tìm hiểu 8 tiên đề thì giáo trình có đầy đủ hết rồi và chúng ta ở mức độ “giải bài tập” cũng chưa cần thiết phải quan tâm thường xuyên lắm.

Không gian vector chúng ta học ở mức độ là hữu hạn chiều, mà những không gian vector đó đều có khả năng dùng tọa độ chuyển về không gian KnmathbbK^nKn được nên ta sẽ chủ yếu tập trung vào các không gian đó, cụ thể là RnmathbbR^nRn.

Rn=(x1,x2,…,xn)∣x1,x2,…,xn∈RmathbbR^n= x_1, x_2, dots, x_n in mathbbRRn=(x1​,x2​,…,xn​)∣x1​,x2​,…,xn​∈R

2. Tổ hợp tuyến tính (THTT)

Vector xxx gọi là THTT của M=x1,x2,…,xmM=x_1, x_2, dots, x_mM=x1​,x2​,…,xm​ nếu tồn tại các số α1,α2,…,αm∈Ralpha_1, alpha_2, dots, alpha_m in mathbbRα1​,α2​,…,αm​∈R sao cho

 x=α1×1+α2×2+⋯+αmxm x = alpha_1x_1+alpha_2x_2+dots+alpha_mx_m x=α1​x1​+α2​x2​+⋯+αm​xm​

✅ Mọi người cũng xem : vận chuyển fulfilled là gì

3. Độc lập tuyến tính (ĐLTT)

Hệ M=x1,x2,…,xmM = x_1, x_2, dots, x_mM=x1​,x2​,…,xm​ gọi là ĐLTT nếu đẳng thức

α1×1+α2×2+⋯+αmxm=0alpha_1x_1+alpha_2x_2+dots+alpha_mx_m=0α1​x1​+α2​x2​+⋯+αm​xm​=0

xảy ra khi và chỉ khi α1=α2=⋯=αm=0alpha_1=alpha_2=dots=alpha_m=0α1​=α2​=⋯=αm​=0.

Giả sử như mà ∃αi≠0exists alpha_i neq 0∃αi​=0 thì có khả năng kết luận MMM phụ hợp tuyến tính nhé !! Mà “phụ thuộc tuyến tính” là như thế nào ta đi sang mục tiếp theo.

✅ Mọi người cũng xem : loạn thế là gì

4. Phụ thuộc tuyến tính (PTTT)

Hệ M=x1,x2,…,xmM=x_1, x_2, dots, x_mM=x1​,x2​,…,xm​ nếu không ĐLTT thì gọi là PTTT.

Cơ bản mà nói, khi xét ĐLTT hay không, ta đẩy về giải hệ phương trình thuần nhất.

Có một vài bài sẽ bắt các bạn kiểm tra xem một vector $x$ nào đó có là THTT của một hệ nào đó hay không.

✅ Mọi người cũng xem : khái niệm tình yêu là gì

5. một vài tính chất

1. Hệ gồm một vector PTTT nếu và chỉ nếu hệ đó là 0 (hệ chỉ gồm vector 000).

   Sao lại thế nhờ? Muốn biết tại sao, ta nháp phát biết liền :3

   Ta giả vờ hệ đó có vector là xxx đi, vậy thì ta sẽ xét đẳng thức

    αx=0 alpha x = 0 αx=0

   Nếu mà x≠0x neq 0x=0 vậy thì α=0alpha=0α=0, hiển nhiên, vậy thì hệ ĐLTT; còn nếu x=0x = 0x=0 thì hiển nhiển nó phụ thuộc tuyến tính :3 vì ta cho bừa số αalphaα bằng bất kì số nào, giả sử là 69 đi, thì 69.x=69.0=069.x = 69.0 = 069.x=69.0=0 hiển nhiên đúng.

2. Nếu hệ có hơn 1 vector thì hệ PTTT khi và chỉ khi có 1 vector là THTT của các vector còn lại.

   Xét một ví dụ làm mẫu nè:

   Ví dụ 4

   Kiểm tra xem hệ 2x,y,2x+3y2x, y, 2x+3y2x,y,2x+3y có ĐLTT hay không?

   Dễ thấy 2x+3y=1.(2x)+3.(y)2x+3y=1.(2x)+3.(y)2x+3y=1.(2x)+3.(y) tức 2x+3y2x+3y2x+3y là THTT của 2x,y2x, y2x,y do đó hệ này PTTT.

II/ Hạng của họ vector

Định nghĩa: Cho hệ vector M=x1,x2,…,xmM=x_1, x_2, dots, x_mM=x1​,x2​,…,xm​. Hạng của MMM là số vector con ĐLTT thường xuyên nhất.

Theo một cách nôm na , nếu rank⁡(M)=k≤moperatornamerank(M)=k le mrank(M)=k≤m thì tồn tại tối thiểu 1 tập con gồm kkk vector ĐLTT. Như vậy, nếu bạn lấy thường xuyên hơn kkk vector từ tập MMM thì luôn luôn bạn sẽ có được 1 hệ PTTT; tuy nhiên nếu bạn lấy ít hơn kkk vector từ tập MMM thì cũng chưa chắc có được một hệ ĐLTT =)) giống như 1 nhóm gồm 10 người gồm 6 bạn nam thì bạn chọn nhiều hơn 6 người từ nhóm đó thì luôn luôn tồn tại 1 bạn nữ; bạn chọn ít hơn 6 người thì chưa chắc không có bạn nữ nào :3.

Họ con có kkk vector ĐLTT gọi là họ con ĐLTT cực đại của MMM.

III/ Tập sinh, cơ sở và số chiều

1. Tập sinh: trong không gian vector VVV, tập M=x1,x2,…,xmM=x_1, x_2,dots, x_mM=x1​,x2​,…,xm​ gọi là tập sinh của VVV nếu mọi vector x∈Vx in Vx∈V đều đặn là THTT của MMM. Ký hiệu

    V=<M>=Span⁡(M) V=<M>=operatornameSpan(M) V=<M>=Span(M)

2. Cơ sở: là một tập sinh ĐLTT. Nói đơn giản là bạn đưa các vector trong tập sinh về dạng ma trận rồi biến đổi sơ cấp để thu được các vector ĐLTT.

3. Số chiều: là số vector trong cơ sở.

Hiểu được những lí thuyết này thì đơn giản nhưng bài tập trắc nghiệm của nó được đánh giá là khó nhất. Tại sao lại như vậy? Theo mình nghĩ là do một số ngộ nhận cũng như việc nhầm lẫn vì kiến thức này khá trừu tượng, thế thôi.

✅ Mọi người cũng xem : khẩu độ f là gì

IV/ Tọa độ

Đây chính là phép màu giúp bạn có thể làm việc với mọi không gian thông qua không gian KnmathbbK^nKn, chi tiết là RnmathbbR^nRn như lúc đầu mình đã nói.

Giả sử ta có một tập E=e1,e2,…,enE = e_1, e_2, dots, e_nE=e1​,e2​,…,en​ là cơ sở của một không gian vector VVV thuộc trường KmathbbKK nào đó đi. Nó là cơ sở, tức là nó cũng là tập sinh, kéo theo mọi vector thuộc VVV cũng đều đặn có thể biểu diễn tuyến tính qua tập EEE được, một cách toán học ta có thể viết

∀x∈V,∃α1,α2,…,αn∈K:x=α1e1+α2e2+⋯+αnenforall x in V, exists alpha_1, alpha_2, dots, alpha_n in mathbbK: x = alpha_1e_1+alpha_2e_2+dots+alpha_ne_n∀x∈V,∃α1​,α2​,…,αn​∈K:x=α1​e1​+α2​e2​+⋯+αn​en​

Và bộ số (α1,α2,…,αn)(alpha_1, alpha_2, dots, alpha_n)(α1​,α2​,…,αn​) (sắp theo thứ tự nhé) được gọi là tọa độ của vector xxx trong VVV.

Bạn cứ hiểu nôm na nó giống như cái số trên CMND hay CCCD của các bạn ấy :p, kiểu 1 thứ để phân biệt vector này với vector kia. Và thế nên nó có 1 tính chất là 2 vector khác nhau thì tọa độ của chúng cũng khác nhéu. Sao lại thế nhờ??? =))

Ta có công thức sau đây:

[x]=E[x]E[x] = E[x]_E[x]=E[x]E​

Với EEE là ma trận có các cột là các vector của cơ sở EEE, còn [x]E[x]_E[x]E​ chính là tọa độ (cũng được viết dọc, tại dọc mới nhân được chớ :p). Ví dụ phát hiểu liền nè.

Ủa rồi nếu mà đề nó cà chớn, nó cho vector xong bắt mình tìm tọa độ thì sao? Hm…Nghe có vẻ khó, nhưng mà để ý tí nào:

 [x]=E[x]E⇔E−1[x]=E−1E[x]E⇔E−1[x]=I[x]E⇔[x]E=E−1[x] [x]=E[x]_E Leftrightarrow E^-1[x]=E^-1E[x]_E Leftrightarrow E^-1[x]=I[x]_ELeftrightarrow [x]_E=E^-1[x] [x]=E[x]E​⇔E−1[x]=E−1E[x]E​⇔E−1[x]=I[x]E​⇔[x]E​=E−1[x]

Giờ làm thử bài nào. Mình sẽ lấy cơ sở EEE bên trên luôn nha, nhưng lúc này ta giả vờ có vector x=(3,1,−2)x=(3, 1, -2)x=(3,1,−2) và đi tìm tọa độ của nó trong cơ sở EEE đó nhaaaa.

Cơ mà lỡ ma trận EEE không khả nghịch thì làm sao nhờ? Thật ra thì ma trận EEE luôn luôn khả nghịch :3 các bạn có khả năng tự chứng minh nhé.

V/ Ma trận chuyển cơ sở

Oke, bạn ở Việt Nam, sử dụng chứng minh nhân dân. Giờ bạn qua Mỹ, bạn phải làm lại cái thẻ khác, mình không biết thường xuyên về Mỹ nên không biết nó làm cái thẻ gì nhưng chắc chắn sẽ có cái thẻ để nhận diện bạn với người khác. Trong toán cũng vậy, vector xxx đang ở cơ sở EEE có tọa độ [x]E[x]_E[x]E​ thì khi chạy sang bên cơ sở PPP sẽ có một tọa độ khác [x]P[x]_P[x]P​ chứ nếu không thì biết ai là ai. Đôi khi chúng cũng có thể giống nhau cơ mà :3 được mấy khi. Vậy chúng có quan hệ thế nào hay chúng chả có quan hệ khỉ khô gì cả?

Xem phát nào!

{  [x]=E[x]E  [x]=P[x]P    ⇒E[x]E=P[x]P⇔[x]E=E−1P[x]Pbegincases    [x] = E[x]_E\    [x] = P[x]_P    endcases    Rightarrow E[x]_E=P[x]_P Leftrightarrow textcolorred[x]_E = E^-1P[x]_P{  [x]=E[x]E​  [x]=P[x]P​  ​  ⇒E[x]E​=P[x]P​⇔[x]E​=E−1P[x]P​

À, thì ra chúng cũng có quan hệ khá mật thiết đó chứ! Nhưng nhìn chung bạn chỉ cần nhớ siêu công thức [x]=E[x]E[x]=E[x]_E[x]=E[x]E​ thì những bài toán tọa độ khi ra kiểm tra đều đặn rất đơn giản với bạn, hứa luôn !!

✅ Mọi người cũng xem : family name là gì

VI/ Không gian con

Không gian con hiểu nôm na là một tập con khác rỗng của tập không gian vector VVV. Nhưng không phải tập con nào cũng là không gian con :3, giống như không phải ai nhỏ tuổi hơn bố mẹ các bạn cũng là con của bố mẹ các bạn, phải thỏa cái khó khăn gì đó như cùng huyết thống chẳng hạn thì mới được gọi là con. Không gian con trong toán cũng thế, chúng phải thỏa một số khó khăn nhất định, nhưng mà thôi, không ai hỏi tới đâu, ta chỉ tập trung các dạng sau thôi.

1. Tìm các vector cơ sở từ các vector sinh

Giả sử đề cho M=<m1=(.,.,.,.),m2=(.,.,.,.),m3=(.,.,.,.)>M=<m_1=(., ., ., .), m_2=(., ., ., .), m_3=(., ., ., .)>M=<m1​=(.,.,.,.),m2​=(.,.,.,.),m3​=(.,.,.,.)> thế này. Thì những vector m1,m2,m3m_1, m_2, m_3m1​,m2​,m3​ là những vector sinh chứ chưa chắc là cơ sở và trong một vài trường hợp, ta cần phải đẩy về những vector cơ sở (vì số vector cơ sở luôn luôn bé hơn hoặc bằng số vector trong tập sinh), khi đó sẽ là một lợi thế cho các bước làm tiếp theo.

Vậy làm thế nào? Bạn cứ đặt ngang nó thành 1 cái ma trận rồi dùng phép biến đổi theo hàng như bạn tìm hạng của ma trận vậy. Quá là dễ dàng phải không nào? Thử một ví dụ sau đây.

2. Tìm các vector cơ sở từ hệ phương trình thuần nhất:

Hệ phương trình đề bài cho chúng ta giải luôn luôn sẽ có vô số nghiệm. Sẽ không bao giờ có trường hợp chỉ có nghiệm bằng 0 đâu.

3. Tìm cơ sở tổng 2 không gian con

F+G=f+g∣f∈F,g∈GF+G= f in F, g in GF+G=f+g∣f∈F,g∈G

Cái này chỉ có 1 cách làm duy nhất thôi :3 đó là bạn đưa về F=<f1,f2,…,fn>F = <f_1, f_2, dots, f_n>F=<f1​,f2​,…,fn​> và G=<g1,g2,…,gn>G = <g_1, g_2, dots, g_n>G=<g1​,g2​,…,gn​> (nếu có sẵn rồi thì quá tốt). Rồi từ đó suy ra tập sinh của F+G=<f1,f2,…,fn,g1,g2,…,gn>F + G = <f_1, f_2, dots, f_n, g_1, g_2, dots, g_n>F+G=<f1​,f2​,…,fn​,g1​,g2​,…,gn​>.

Tới đây, công việc còn lại thì quá dễ dàng phải không nào? : P Nếu chưa hiểu thì xem lại dạng 1 nha :3.

✅ Mọi người cũng xem : fair-weather friend là gì

4. Tìm cơ sở giao 2 không gian con

F∩G=x∈V∣x∈F∧x∈GFcap G = x in VF∩G=x∈V∣x∈F∧x∈G

Oke, cái này khoai hơn chút xíu này :3. Có 3 trường hợp mà bạn cần phải nhớ.

• Dạng đầu tiên cũng là dạng dễ dàng nhất, đề bài cho FFF và GGG đều đặn dưới dạng hệ phương trình. Gặp những trường hợp này, bạn gộp chung 2 cái hệ lại làm 1 rồi giải như mục 2.

• Dạng tiếp theo là 1 thằng dạng hệ phương trình, giả sử là FFF đi, 1 thằng dạng tập sinh, giả sử là GGG đi. Thế thì… :3 thôi coi ví dụ cho dễ hiểu đi =)).

  Ví dụ 9

  Trong R3mathbbR^3R3, cho 2 không gian con

  F=(x1,x2,x3)∈R3∣x1+x2+x3=0G=<(1,0,1),(2,3,1)>beginalign* F&=x_1+x_2+x_3=0\ G&=<(1, 0, 1), (2, 3, 1)> endalign*FG​=(x1​,x2​,x3​)∈R3∣x1​+x2​+x3​=0=<(1,0,1),(2,3,1)>​

  Tìm cơ sở và số chiều của F∩GF cap GF∩G.

  Ta có ∀x∈F∩G⇔x∈F∧x∈Gforall x in F cap G Leftrightarrow x in F wedge x in G∀x∈F∩G⇔x∈F∧x∈G.

  x∈G⇔x=α(1,0,1)+β(2,3,1))=(α+2β,3β,α+β)x in G Leftrightarrow x = alpha(1, 0, 1) + beta(2, 3, 1)) = (alpha + 2beta, 3beta, alpha+beta)x∈G⇔x=α(1,0,1)+β(2,3,1))=(α+2β,3β,α+β).

  x∈F⇔x in F Leftrightarrowx∈F⇔ x thỏa hệ phương trình của FFF:

   (α+2β)+(3β)+(α+β)=0⇔α=−3β (alpha+2beta)+(3beta)+(alpha+beta)=0Leftrightarrow alpha=-3beta (α+2β)+(3β)+(α+β)=0⇔α=−3β

  Suy ra x=(α+2β,3β,α+β)=(−β,3β,−2β)=β(−1,3,−2)x = (alpha + 2beta, 3beta, alpha+beta) = (-beta, 3beta, -2beta) = beta(-1, 3, -2)x=(α+2β,3β,α+β)=(−β,3β,−2β)=β(−1,3,−2).

  do đó E=(−1,3,−2)E = (-1, 3, -2)E=(−1,3,−2) là tập sinh của F∩GF cap GF∩G. Hơn nữa dễ thấy EEE ĐLTT nên là cơ sở của F∩GF cap GF∩G và dim⁡F∩G=1dim F cap G = 1dimF∩G=1.

• Dạng cuối cùng, những theo mình thấy cũng là khoai nhất :'( là khi $F$ và $G$ đều cho dưới dạng tập sinh. Quất luôn ví dụ cho dễ hiểu nào.

  Ví dụ 10

  Trong R3mathbbR^3R3, cho 2 không gian con

      F=<f1=(1,0,1),f2=(1,1,1)>    G=<g1=(1,1,0),g2(2,1,1)>  beginalign*        F &= <f_1 = (1, 0, 1), f_2=(1, 1, 1)>\        G &= <g_1=(1, 1, 0), g_2(2, 1, 1)>    endalign*    F    G​=<f1​=(1,0,1),f2​=(1,1,1)>=<g1​=(1,1,0),g2​(2,1,1)>  ​

  Tìm cơ sở và số chiều của F∩GF cap GF∩G.

  Ta có x∈F∩Gx in F cap Gx∈F∩G khi và chỉ khi xxx đồng thời là THTT của f1,f2f_1, f_2f1​,f2​ và g1,g2g_1, g_2g1​,g2​, nghĩa là:

  x=x1f1+x2f2=x3g1+x4g2⇔x1f1+x2f2−x3g1−x4g2=0x = x_1f_1 + x_2f_2 = x_3g_1 + x_4g_2 Leftrightarrow x_1f_1+x_2f_2-x_3g_1-x_4g_2=0x=x1​f1​+x2​f2​=x3​g1​+x4​g2​⇔x1​f1​+x2​f2​−x3​g1​−x4​g2​=0

  Từ đó ta có hệ phương trình

   {      x1+x2−x3−2×4=0      x2−x3−x4=0      x1+x2−x4=0        ⇒    {      x1+x2−x3−2×4=0      x2−x3−x4=0      x3+x4=0     begincases            x_1+x_2-x_3-2x_4=0\            x_2-x_3-x_4=0\            x_1+x_2-x_4=0        endcases        Rightarrow        begincases            x_1+x_2-x_3-2x_4=0\            x_2-x_3-x_4=0\            x_3+x_4=0        endcases ⎩⎨⎧​      x1​+x2​−x3​−2×4​=0      x2​−x3​−x4​=0      x1​+x2​−x4​=0    ​    ⇒    ⎩⎨⎧​      x1​+x2​−x3​−2×4​=0      x2​−x3​−x4​=0      x3​+x4​=0    ​

  Đặt x4=αx_4=alphax4​=α

  ⇒x3=−αx=x3g1+x4g2=−α(1,1,0)+α(2,1,1)=α(1,0,1)Rightarrow x_3=-alpha x = x_3g_1+x_4g_2 = -alpha(1, 1, 0) + alpha(2, 1, 1) = alpha(1, 0, 1)⇒x3​=−αx=x3​g1​+x4​g2​=−α(1,1,0)+α(2,1,1)=α(1,0,1)

  do đó E=(1,0,1)E = (1, 0, 1)E=(1,0,1) là tập sinh của F∩GF cap GF∩G. Hơn nữa, dễ thấy EEE ĐLTT nên là cơ sở của F∩GF cap GF∩G và dim⁡F∩G=1dim F cap G = 1dimF∩G=1.

5. Định lí số chiều

dim⁡(F∩G)+dim⁡(F+G)=dim⁡F+dim⁡Gdim (F cap G) + dim (F + G) = dim F + dim Gdim(F∩G)+dim(F+G)=dimF+dimG

Cái này chủ yếu sử dụng cho mấy bài min max số chiều thôi :3. làm chủ được mấy phần trên thì ba cái này muỗi vl. Bạn tham khảo trong phần bài tập nha.

Các câu hỏi về không gian tuyến tính là gì

Nếu có bắt kỳ câu hỏi thắc mắt nào vê không gian tuyến tính là gì hãy cho chúng mình biết nhé, mõi thắt mắt hay góp ý của các bạn sẽ giúp mình cải thiện hơn trong các bài sau nhé <3 Bài viết không gian tuyến tính là gì ! được mình và team xem xét cũng như tổng hợp từ nhiều nguồn. Nếu thấy bài viết không gian tuyến tính là gì Cực hay ! Hay thì hãy ủng hộ team Like hoặc share. Nếu thấy bài viết không gian tuyến tính là gì rât hay ! chưa hay, hoặc cần bổ sung. Bạn góp ý giúp mình nhé!!

Các Hình Ảnh Về không gian tuyến tính là gì

Các hình ảnh về không gian tuyến tính là gì đang được chúng mình Cập nhập. Nếu các bạn mong muốn đóng góp, Hãy gửi mail về hộp thư [email protected] Nếu có bất kỳ đóng góp hay liên hệ. Hãy Mail ngay cho tụi mình nhé

Tra cứu báo cáo về không gian tuyến tính là gì tại WikiPedia

Bạn nên tra cứu thêm thông tin chi tiết về không gian tuyến tính là gì từ trang Wikipedia.◄ Tham Gia Cộng Đồng Tại

???? Nguồn Tin tại: https://vietvan.vn/hoi-dap/

???? Xem Thêm Chủ Đề Liên Quan tại : https://vietvan.vn/hoi-dap/