Học tại nhà – Toán

Cập nhật ngày 17/08/2022 bởi mychi

Bài viết Học tại nhà – Toán thuộc chủ đề về HỎi Đáp thời gian này đang được rất nhiều bạn quan tâm đúng không nào !! Hôm nay, Hãy cùng VietVan tìm hiểu Học tại nhà – Toán trong bài viết hôm nay nhé ! Các bạn đang xem bài viết : “Học tại nhà – Toán”

PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ


Có 4 phương pháp đặt ẩn phụ chính:
1. Đặt ẩn phụ thông thường
2. Đặt ẩn phụ đưa về phương trình thuần nhất bậc 2 đối với 2 biến
3. Đặt ẩn phụ không hoàn toàn
4. Đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình

Phương pháp thứ 4 sẽ được tách riêng ra một chuyên đề riêng: “Chuyển phương trình vô tỉ về hệ phương trình”

CÁC PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ:
1. Phương pháp đặt ẩn phụ thông thường
Phương pháp:

Đối với nhiều phương trình vô tỉ, để giải chúng  ta có thể đặt $t = fleft( x right)$  và chú ý điều kiện của $t$nếu phương trình ban đầu trở thành phương trình chứa một biến $t$quan trọng hơn ta có thể giải được phương trình đó theo $t$ thì việc đặt phụ xem như “ hoàn toàn” .Nói chung những phương trình mà có thể đặt hoàn toàn $t = fleft( x right)$  thường là những phương trình dễ .

Bài 1:
Giải phương trình: $sqrt x – sqrt x^2 – 1   + sqrt x + sqrt x^2 – 1   = 2$
Giải:
Đk: $x geqslant 1$
Nhận xét. $sqrt x – sqrt x^2 – 1 .sqrt x + sqrt x^2 – 1   = 1$
Đặt $t = sqrt x – sqrt x^2 – 1 $ thì phương trình có dạng: $t + frac1t = 2 Leftrightarrow t = 1$
Thay vào  tìm được $x = 1$

Bài 2:
 Giải phương trình: $2x^2 – 6x – 1 = sqrt 4x + 5 $
Giải:
Điều kiện: $x geqslant  – frac45$
Đặt $t = sqrt 4x + 5 (t geqslant 0)$ thì $x = fract^2 – 54$. Thay vào ta có phương trình sau:
$2.fract^4 – 10t^2 + 2516 – frac64(t^2 – 5) – 1 = t Leftrightarrow t^4 – 22t^2 – 8t + 27 = 0$
$ Leftrightarrow (t^2 + 2t – 7)(t^2 – 2t – 11) = 0$
Ta tìm được bốn nghiệm là: $t_1,2 =  – 1 pm 2sqrt 2 ;,,t_3,4 = 1 pm 2sqrt 3 $
Do $t geqslant 0$ nên  chỉ nhận các gái trị $t_1 =  – 1 + 2sqrt 2 ,t_3 = 1 + 2sqrt 3 $
Từ đó tìm được các nghiệm của phương trình l: $x = 1 – sqrt 2 text vao x = 2 + sqrt 3 $
Cách khác: Ta có  thể bình phương hai vế của phương trình với điều kiện $2x^2 – 6x – 1 geqslant 0$
Ta được: $x^2(x – 3)^2 – (x – 1)^2 = 0$, từ đó ta tìm được nghiệm tương ứng.
Đơn giản nhất là ta đặt : $2y – 3 = sqrt 4x + 5 $   và đưa về hệ đối xứng  

Bài  3:

Giải phương trình: $x + sqrt 5 + sqrt x – 1   = 6$
Giải:
Điều kiện: $1 leqslant x leqslant 6$
Đặt $y = sqrt x – 1 (y geqslant 0)$ thì phương trình trở thành: $y^2 + sqrt y + 5  = 5 Leftrightarrow y^4 – 10y^2 – y + 20 = 0$( với $y leqslant sqrt 5 )$$ Leftrightarrow (y^2 + y – 4)(y^2 – y – 5) = 0$$ Leftrightarrow y = frac1 + sqrt 21 2text(loa”i i),,,y = frac – 1 + sqrt 17 2$
Từ đó ta tìm được các giá trị của $x = frac11 – sqrt 17 2$

Bài 4:
Giải phương trình  sau :$x = left( 2004 + sqrt x right)left( 1 – sqrt 1 – sqrt x right)^2$
Giải:
ĐK $0 leqslant x leqslant 1$
Đặt $y = sqrt 1 – sqrt x $  pttt$ Leftrightarrow 2left( 1 – y right)^2left( y^2 + y – 1002 right) = 0 Leftrightarrow y = 1 Leftrightarrow x = 0$

Bài 5:
Giải phương trình : $x^2 + 2xsqrt x – frac1x  = 3x + 1$
Giải:
Điều kiện: $ – 1 leqslant x < 0$
Chia cả hai vế cho x ta nhận được:$x + 2sqrt x – frac1x  = 3 + frac1x$
Đặt $t = x – frac1x$, ta giải được.

Bài 6:
Giải phương trình : $x^2 + sqrt[3]x^4 – x^2 = 2x + 1$
Giải: $x = 0$ không phải là nghiệm , Chia cả hai vế cho x ta được: $left( x – frac1x right) + sqrt[3]x – frac1x = 2$
Đặt t=$sqrt[3]x – frac1x$,  Ta có  : $t^3 + t – 2 = 0 Leftrightarrow $$t = 1 Leftrightarrow x = frac1 pm sqrt 5 2$

Nhận xét: đối với cách đặt ẩn phụ như trên chúng ta chỉ giải  quyết được một lớp bài đơn giản, đôi khi phương trình đối với $t$ lại quá khó giải  

2.  Đặt ẩn phụ đưa về phương trình thuần nhất bậc 2 đối với 2 biến.
Phương pháp:

Chúng ta đã biết cách giải phương trình: $u^2 + alpha uv + beta v^2 = 0$   (1) bằng cách
Xét $v ne 0$ phương trình trở thành  : $left( fracuv right)^2 + alpha left( fracuv right) + beta  = 0$
$v = 0$ thử trực tiếp
Các trường hợp sau cũng đưa về được (1)
$a.Aleft( x right) + bBleft( x right) = csqrt Aleft( x right).Bleft( x right) $
$alpha u + beta v = sqrt mu^2 + nv^2 $
Chúng ta hãy thay các biểu thức $A(x) , B(x)$  bởi các biểu thức vô tỉ thì sẽ nhận được phương trình vô tỉ theo dạng này.

a) Phương trình dạng: $a.Aleft( x right) + bBleft( x right) = csqrt Aleft( x right).Bleft( x right) $
Như vậy phương trình $Qleft( x right) = alpha sqrt Pleft( x right) $ có thể giải bằng phương pháp trên nếu  
               $left{ beginarray
  Pleft( x right) = Aleft( x right).Bleft( x right)  \
  Qleft( x right) = aAleft( x right) + bBleft( x right)  \
endarray  right.$
Xuất phát từ đẳng thức :
              $x^3 + 1 = left( x + 1 right)left( x^2 – x + 1 right)$
              $x^4 + x^2 + 1 = left( x^4 + 2x^2 + 1 right) – x^2 = left( x^2 + x + 1 right)left( x^2 – x + 1 right)$
              $x^4 + 1 = left( x^2 – sqrt 2 x + 1 right)left( x^2 + sqrt 2 x + 1 right)$
              $4x^4 + 1 = left( 2x^2 – 2x + 1 right)left( 2x^2 + 2x + 1 right)$
Hãy tạo ra những phương trình vô tỉ dạng trên ví dụ như :
                        $4x^2 – 2sqrt 2 x + 4 = sqrt x^4 + 1 $
Để có một phương trình đẹp , chúng ta phải chọn hệ số a,b,c sao cho phương trình bậc hai $at^2 + bt – c = 0$  giải  “ nghiệm đẹp”

Bài 1:
Giải phương trình : $2left( x^2 + 2 right) = 5sqrt x^3 + 1 $
Giải:
Đặt $u = sqrt x + 1 ,v = sqrt x^2 – x + 1 $
phương trình trở thành : $2left( u^2 + v^2 right) = 5uv Leftrightarrow left[ beginarray
  u = 2v  \
  u = frac12v  \
endarray  right.$
Tìm được: $x = frac5 pm sqrt 37 2$

Bài 3:  
Giải phương trình :$2x^2 + 5x – 1 = 7sqrt x^3 – 1 $
Giải:
Đk: $x geqslant 1$
Nhận xét : Ta viết     $alpha left( x – 1 right) + beta left( x^2 + x + 1 right) = 7sqrt left( x – 1 right)left( x^2 + x + 1 right) $
Đồng nhất thức  ta được  $3left( x – 1 right) + 2left( x + x + 1 right) = 7sqrt left( x – 1 right)left( x^2 + x + 1 right) $
Đặt $u = x – 1 geqslant 0kern 1pt kern 1pt kern 1pt ,v = x^2 + x + 1 > 0$, ta được:  $3u + 2v = 7sqrt uv  Leftrightarrow left[ beginarray
  v = 9u  \
  v = frac14u  \
endarray  right.$
Nghiệm :$x = 4 pm sqrt 6 $

Bài 4:
Giải phương trình :$x^3 – 3x^2 + 2sqrt left( x + 2 right)^3  – 6x = 0$
Giải:
Nhận xét : Đặt $y = sqrt x + 2 $ ta biến pt trình về dạng phương trình thuần nhất bậc 3 đối với x và y :
$x^3 – 3x^2 + 2y^3 – 6x = 0 Leftrightarrow x^3 – 3xy^2 + 2y^3 = 0 Leftrightarrow left[ beginarray
  x = y  \
  x =  – 2y  \
endarray  right.$
Pt có  nghiệm :$x = 2,kern 1pt kern 1pt kern 1pt kern 1pt kern 1pt kern 1pt kern 1pt kern 1pt kern 1pt kern 1pt kern 1pt kern 1pt kern 1pt kern 1pt kern 1pt x = 2 – 2sqrt 3 $

b).Phương trình dạng:  $alpha u + beta v = sqrt mu^2 + nv^2 $
Phương trình cho ở dạng này thường khó “phát hiện “ hơn dạng trên , nhưng nếu ta bình phương hai vế thì đưa về được dạng trên.

Bài 1:
Giải phương trình : $x^2 + 3sqrt x^2 – 1  = sqrt x^4 – x^2 + 1 $
Giải:
Ta đặt :$left{ beginarray
  u = x^2  \
  v = sqrt x^2 – 1   \
endarray  right.$  khi đó phương trình trở thành : $u + 3v = sqrt u^2 – v^2 $

Bài 2:
Giải phương trình : $sqrt x^2 + 2x  + sqrt 2x – 1  = sqrt 3x^2 + 4x + 1 $
Giải:
Đk $x geqslant frac12$.  Bình phương 2 vế ta có : $sqrt left( x^2 + 2x right)left( 2x – 1 right)  = x^2 + 1 Leftrightarrow sqrt left( x^2 + 2x right)left( 2x – 1 right)  = left( x^2 + 2x right) – left( 2x – 1 right)$
Ta có thể đặt : $left{ beginarray
  u = x^2 + 2x  \
  v = 2x – 1  \
endarray  right.$  khi đó ta có hệ : $uv = u^2 – v^2 Leftrightarrow left[ beginarray
  u = frac1 – sqrt 5 2v  \
  u = frac1 + sqrt 5 2v  \
endarray  right.$
Do $u,v geqslant 0$. $u = frac1 + sqrt 5 2v Leftrightarrow x^2 + 2x = frac1 + sqrt 5 2left( 2x – 1 right)$

Bài 3:

Giải phương trình : $sqrt 5x^2 – 14x + 9  – sqrt x^2 – x – 20  = 5sqrt x + 1 $
Giải:
Đk $x geqslant 5$. Chuyển vế bình phương ta được: $2x^2 – 5x + 2 = 5sqrt left( x^2 – x – 20 right)left( x + 1 right) $
Nhận xét: Không tồn tại số $alpha ,beta $ để : $2x^2 – 5x + 2 = alpha left( x^2 – x – 20 right) + beta left( x + 1 right)$ vậy ta không thể đặt
$left{ beginarray
  u = x^2 – x – 20  \
  v = x + 1  \
endarray  right.$.
Nhưng may mắn ta có : $left( x^2 – x – 20 right)left( x + 1 right) = left( x + 4 right)left( x – 5 right)left( x + 1 right) = left( x + 4 right)left( x^2 – 4x – 5 right)$
Ta viết lại phương trình:  $2left( x^2 – 4x – 5 right) + 3left( x + 4 right) = 5sqrt (x^2 – 4x – 5)(x + 4) $.
Đến đây bài toán được giải quyết .

3.  Phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn
Phương pháp:

Từ những phương trình tích $left( sqrt x + 1  – 1 right)left( sqrt x + 1  – x + 2 right) = 0$,$left( sqrt 2x + 3  – x right)left( sqrt 2x + 3  – x + 2 right) = 0$
Khai  triển và rút gọn ta sẽ được những phương trình vô tỉ không tầm thường chút nào, độ khó của phương trình dạng này phụ thuộc vào phương trình tích mà ta xuất phát .
Từ đó chúng ta mới đi tìm cách giải phương trình dạng này .Phương pháp giải được thể hiện qua các ví dụ sau .

Bài 1:
Giải phương trình :$x^2 + left( 3 – sqrt x^2 + 2 right)x = 1 + 2sqrt x^2 + 2 $
Giải:
$t = sqrt x^2 + 2 $ , ta có: $t^2 – left( 2 + x right)t – 3 + 3x = 0 Leftrightarrow left[ beginarray
  t = 3  \
  t = x – 1  \
endarray  right.$

Bài 2:
Giải phương trình : $left( x + 1 right)sqrt x^2 – 2x + 3  = x^2 + 1$
Giải:
Đặt : $t = sqrt x^2 – 2x + 3 ,kern 1pt kern 1pt kern 1pt kern 1pt kern 1pt kern 1pt kern 1pt kern 1pt kern 1pt kern 1pt kern 1pt t geqslant sqrt 2 $
Khi đó phương trình trở thành : $left( x + 1 right)t = x^2 + 1$$ Leftrightarrow x^2 + 1 – left( x + 1 right)t = 0$
Bây giờ ta thêm bớt , để được phương trình bậc 2 theo t : $x^2 – 2x + 3 – left( x + 1 right)t + 2left( x – 1 right) = 0 Leftrightarrow t^2 – left( x + 1 right)t + 2left( x – 1 right) = 0 Leftrightarrow left[ beginarray
  t = 2  \
  t = x – 1  \
endarray  right.$
Từ một phương trình đơn giản : $left( sqrt 1 – x  – 2sqrt 1 + x right)left( sqrt 1 – x  – 2 + sqrt 1 + x right) = 0$, khai triển ra ta sẽ được pt sau

Bài 3:   
Giải phương trình : $4sqrt x + 1  – 1 = 3x + 2sqrt 1 – x  + sqrt 1 – x^2 $
Giải:
Nhận xét : đặt $t = sqrt 1 – x $, pt trở thành  $4sqrt 1 + x  = 3x + 2t + tsqrt 1 + x $  (1)
Ta rút  $x = 1 – t^2$ thay vào thì được pt: $3t^2 – left( 2 + sqrt 1 + x right)t + 4left( sqrt 1 + x  – 1 right) = 0$
Nhưng không có  sự may mắn để giải được phương trình  theo t   $Delta  = left( 2 + sqrt 1 + x right)^2 – 48left( sqrt x + 1  – 1 right)$ không có dạng bình phương .
Muốn đạt được mục đích trên thì ta phải tách  3x  theo  $left( sqrt 1 – x right)^2,kern 1pt kern 1pt kern 1pt left( sqrt 1 + x right)^2$
Cụ thể như sau : $3x =  – left( 1 – x right) + 2left( 1 + x right)$   thay vào pt  (1)

Bài 4:
Giải phương trình: $2sqrt 2x + 4  + 4sqrt 2 – x  = sqrt 9x^2 + 16 $
Giải:
Bình phương  2 vế phương trình: $4left( 2x + 4 right) + 16sqrt 2left( 4 – x^2 right)  + 16left( 2 – x right) = 9x^2 + 16$
Ta đặt : $t = sqrt 2left( 4 – x^2 right)  geqslant 0$. Ta được: $9x^2 – 16t – 32 + 8x = 0$
Ta phải tách $9x^2 = alpha 2left( 4 – x^2 right) + left( 9 + 2alpha right)x^2 – 8alpha $ làm sao cho $Delta _t$ có dạng số chính phương .
Nhận xét : Thông thường ta chỉ cần nhóm sao cho hết hệ số tự do thì sẽ đạt được mục đích

BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Bài 1:

$sqrt x + 1  + sqrt 3 – x  – sqrt (x + 1)(3 – x)  = n$            (1)
a/ Giải phương trình n =  2
b/ Tìm các giá trị của n để phương trình có nghiệm
Giải:
Điều kiện
$left{ beginarray*20c
  x + 1 geqslant 0 \
  3 – x geqslant 0
endarray Leftrightarrow  – 1 leqslant x leqslant 3 right.$
Đặt ẩn phụ $t = sqrt x + 1  + sqrt 3 – x ,t geqslant 0$
Khi đó $t^2 = 4 + 2sqrt (x + 1)(3 – x) $
Hay $2sqrt (x + 1)(3 – x)  = t^2 – 4$                (2)
a/ Với n = 2 và ẩn phụ t, phương trình (1) trở thành.
$beginarray
  2t – (t^2 – 4) = 4  \
   Leftrightarrow t^2 – 2t = 0  \
   Leftrightarrow t_1 = 0,t_2 = 2  \
endarray $
Dễ thấy t1 = 0 không thoả (2). Thay t2 = 2 vào (2) được $sqrt (x + 1)(3 – x)  = 0, Rightarrow x_1 =  – 1,x_2 = 3$, thoả điều kiện ban đầu.
b/ Đặt ẩn phụ t như trên, phương trình (1) trở thành:
$beginarray
  2t – (t^2 – 4) = 2n  \
   Leftrightarrow t^2 – 2t + 2n – 4 = 0  \
endarray $
+ $Delta  = 5 – 2n geqslant 0$ thì phương trình có nghiệm
$left{ beginarray*20c
  t_1 = 1 + sqrt 5 – 2n \
  t_2 = 1 – sqrt 5 – 2n
endarray right.$
Để phương trình có nghiệm thì $2 leqslant t leqslant 2sqrt 2 $ (theo công thức tổng quát ở trên).
Với t2 không thoả mãn.
Với t1 ta có $2 leqslant 1 + sqrt 5 – 2n  leqslant 2sqrt 2 $$ Leftrightarrow 2sqrt 2  – 2 leqslant n leqslant 2$
Điều kiện này bảo đảm phương trình (2) có nghiệm x. Vậy phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi $2sqrt 2  – 2 leqslant n leqslant 2$

Bài 2:
$sqrt x + 6sqrt x – 9   + sqrt x – 6sqrt x – 9   = fracx + m6$
a/ Giải phương trình với m = 23
b/ Tìm các giá trị của m để phương trình có nghiệm.
Giải:
Điều kiện $x – 9 geqslant 0 Leftrightarrow x geqslant 9$
Đặt ẩn phụ $t = sqrt x – 9 $. Khi đó x = t2 + 9
Phương trình đã cho trở thành:
$beginarray
  6left( sqrt (1 + 3)^2  + sqrt (x – 3)^2 right) = t^2 + 9 + m  \
   Leftrightarrow 6left( left right) = t^2 + 9 + m  \
   Leftrightarrow left{ beginarray*20c
  t^2 – 12t + 9 + m = 0,t geqslant 0 \
  t^2 – 27 + m = 0,0 leqslant t leqslant 3
endarray right.  \
endarray $
a/ Với m = 23 có:
$left{ beginarray*20c
  t^2 – 12t + 32 = 0,t geqslant 3 \
  t^2 = 4,0 leqslant t leqslant 3
endarray right.$
     Giải ra ta được t1 = 8, t2 = 4, t3 = 2 nên phương trình có 3 nghiệm là x1=73, x2 = 25, x3 = 13.
b/ Với t ≥ 3 thì t2 – 12t + 9 + m = 0
   $ Leftrightarrow left( t – 6 right)^2 = 27 – m$
Phương trình này có nghiệm khi 18 < m ≤ 27
Vậy phương trình có nghiệm khi m ≤ 27.

Bài 3:
Giải phương trình:      $x + fracxsqrt x^2 – 1 = frac3512$     (1)
Giải:
Điều kiện x2 – 1 > 0, x > 0 $ Leftrightarrow $ x > 1
Bình phương 2 vế của (1), ta có:
$x^2 + fracx^2x^2 – 1 + frac2x^2sqrt x^2 – 1 = frac1225144$    
$ Leftrightarrow fracx^4x^2 – 1 + frac2x^2sqrt x^2 – 1 = frac1225144$                (2)
Đặt $t = fracx^2sqrt x^2 – 1 $, với t > 0, ta có
(2) $ Leftrightarrow t^2 + 2t – frac1225144 = 0$                (3)
Phương trình (3) có 2 nghiệm trái dấu.
$left{ beginarray*20c
  t_1 = frac2512 \
  t_2 =  – frac4912
endarray right.$                                                                                            
+ Với $t_1 = frac2512$
$ Rightarrow 12(x^2 – 1) – 25sqrt x^2 – 1  + 12 = 0$            (4)
Đặt $y = sqrt x^2 – 1 ,y > 0$. Ta có
$beginarray
  (4) Leftrightarrow 12y^2 – 25y + 12 = 0  \
   Leftrightarrow left{ beginarray*20c
  y = frac43 \
  y = frac34
endarray right.  \
endarray $
Suy ra phương trình đã cho có 2 nghiệm:
$left[ beginarray*20c
  x = frac54 \
  x = frac53
endarray right.$
Vậy nghiệm của phương trình là $S = left frac54;frac53 right$

Bài 4:
Giải phương trình:      $sqrt[3](x + a)^2 + sqrt[3](x + a)^2 + sqrt[3](x^2 – a^2) = sqrt[3]a^2$
Giải:
Đặt y = x + a, z = x – a
Nhân lượng liên hiệp
$beginarray
   Rightarrow y – x = sqrt[3]a^2left( sqrt[3]y – sqrt[3]z right) = 2a  \
   Rightarrow sqrt[3]y – sqrt[3]z = 2sqrt[3]a  \
endarray $
Lập phương 2 vế phương trình ta được
– yz = a2
$ Rightarrow $ x = 0 (thử lại thoả)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 0

Bài 5:
Giải phương trình:      $sqrt[4]629 – x + sqrt[4]77 + x = 8$
Giải:
Đặt $left{ beginarray
  ,u = sqrt[4]629 – x  \
  ,v = sqrt[4]77 + x  \
endarray  right.$
$ Rightarrow u + v = 8,u^4 + v^4 = 706$
Đặt t = uv
$beginarray
   Rightarrow t^2 – 128t + 1695 = 0  \
   Leftrightarrow left[ beginarray*20c
  t = 15 \
  t = 113
endarray right.  \
endarray $
Với t = 15 $ Rightarrow $ x = 4
Với t = 113 $ Rightarrow $ x = 548
Thử lại ta thấy tập nghiêm của phương trình là $S = left 4;548 right.text $

Bài 6:
Giải phương trình:      $sqrt 1 + sqrt 1 – x^2 left( sqrt (1 + x )^3 – sqrt left( 1 – x right)^3 right) = 2 + sqrt 1 – x^2 $
Giải:
Điều kiện
-1 ≤ x ≤ 1
Đặt $u = sqrt 1 + x ,v = sqrt 1 – x $, với u, v > 0
$ Rightarrow u.v = sqrt 1 – x^2 ,u^2 + v^2 = 2,u^2 – v^2 = 2x$
Phương trình đã cho trở thành
$beginarray
  sqrt fracu^2 + v^22  + u.v(u^3 – v^3) = 2 + u.v  \
   Leftrightarrow frac1sqrt 2 (u + v)(u – v)(u^2 + uv + v^2) = 2 + u.v  \
   Rightarrow frac1sqrt 2 2x(2 + uv + v^2) = 2 + u.v  \
   Rightarrow x = fracsqrt 2 2  \
endarray $
Thử lại ta thấu tập nghiệp của phương trình đã cho là $S = left fracsqrt 2 2 right$



Các câu hỏi về đặt ẩn phụ là gì


Nếu có bắt kỳ câu hỏi thắc mắt nào vê đặt ẩn phụ là gì hãy cho chúng mình biết nhé, mõi thắt mắt hay góp ý của các bạn sẽ giúp mình cải thiện hơn trong các bài sau nhé <3 Bài viết đặt ẩn phụ là gì ! được mình và team xem xét cũng như tổng hợp từ nhiều nguồn. Nếu thấy bài viết đặt ẩn phụ là gì Cực hay ! Hay thì hãy ủng hộ team Like hoặc share. Nếu thấy bài viết đặt ẩn phụ là gì rât hay ! chưa hay, hoặc cần bổ sung. Bạn góp ý giúp mình nhé!!

Các Hình Ảnh Về đặt ẩn phụ là gì


Các hình ảnh về đặt ẩn phụ là gì đang được chúng mình Cập nhập. Nếu các bạn mong muốn đóng góp, Hãy gửi mail về hộp thư [email protected] Nếu có bất kỳ đóng góp hay liên hệ. Hãy Mail ngay cho tụi mình nhé

Xem thêm dữ liệu, về đặt ẩn phụ là gì tại WikiPedia

Bạn hãy tham khảo thêm nội dung chi tiết về đặt ẩn phụ là gì từ web Wikipedia tiếng Việt.◄ Tham Gia Cộng Đồng Tại

???? Nguồn Tin tại: https://vietvan.vn/hoi-dap/

???? Xem Thêm Chủ Đề Liên Quan tại : https://vietvan.vn/hoi-dap/

Related Posts

About The Author

Add Comment