Cập nhật ngày 23/03/2023 bởi mychi
Bài viết Dim trong Đại số tuyến tính là gì thuộc chủ đề về Wiki How thời gian này đang được rất nhiều bạn quan tâm đúng không nào !! Hôm nay, Hãy cùng Viết Văn tìm hiểu Dim trong Đại số tuyến tính là gì trong bài viết hôm nay nhé ! Các bạn đang xem bài : “Dim trong Đại số tuyến tính là gì”Shortlink: http://wp.me/P8gtr-13S
1. Định nghĩa: 1. Định nghĩa:
Cho V và V là hai không gian vec-tơ trên trường số K. Ánh xạ gọi là 1 ánh xạ tuyến tính (linear transformations) hay đồng cấu tuyến tính (homomorphism) nếu f thỏa mãn hai tính chất sau đây: Cho V và V là hai không gian vec-tơ trên trường số K. Ánh xạ gọi là 1 ánh xạ tuyến tính (linear transformations) hay đồng cấu tuyến tính (homomorphism) nếu f thỏa mãn hai tính chất sau đây:
(L1): (tính bảo toàn phép cộng) (L1): (tính bảo toàn phép cộng)
(L2) (tính bảo toàn phép nhân với vô hướng) (L2) (tính bảo toàn phép nhân với vô hướng)
Một ánh xạ tuyến tính đi từ V vào chính nó còn gọi là phép biến đổi tuyến tính hay toán tử tuyến tính trên V. Một ánh xạ tuyến tính đi từ V vào chính nó còn gọi là phép biến đổi tuyến tính hay toán tử tuyến tính trên V.
Nhận xét: Từ hai điều kiện trên, dễ dàng nhận thấy rằng: Nhận xét: Từ hai điều kiện trên, dễ dàng nhận thấy rằng:
là ánh xạ tuyến tính là ánh xạ tuyến tính
2. Tính chất: 2. Tính chất:
Cho là ánh xạ tuyến tính, V, W là hai không gian vec-tơ trên trường số K. Khi đó: Cho là ánh xạ tuyến tính, V, W là hai không gian vec-tơ trên trường số K. Khi đó:
1.
2.
Chứng minh:
1. Ta có: 1. Ta có:
Suy ra: (*)
Mặt khác: (**)
Do đó, từ (*), (**) ta có: Do đó, từ (*), (**) ta có:
2. Ta có: 2. Ta có:
3. Các ví dụ: 3. Các ví dụ:
3.1: Ánh xạ hằng giá trị không: là một ánh xạ tuyến tính và gọi là ánh xạ không. 3.1: Ánh xạ hằng giá trị không: là một ánh xạ tuyến tính và gọi là ánh xạ không.
3.2: Ánh xạ đồng nhất , là một phép biến đổi tuyến tính trên V và gọi là phép biến đổi đồng nhất (hay toán tử đồng nhất) trên V. 3.2: Ánh xạ đồng nhất , là một phép biến đổi tuyến tính trên V và gọi là phép biến đổi đồng nhất (hay toán tử đồng nhất) trên V.
3.3 Phép lấy đạo hàm là một phép biến đổi tuyến tính trên không gian R[x] các đa thức thực một biến x. 3.3 Phép lấy đạo hàm là một phép biến đổi tuyến tính trên không gian R[x] các đa thức thực một biến x.
3.4 Phép lấy tích phân xác định: 3.4 Phép lấy tích phân xác định:
là một ánh xạ tuyến tính từ không gian C[a,b] các hàm số thực liên tục trên [a,b] đến không gian R. là một ánh xạ tuyến tính từ không gian C[a,b] các hàm số thực liên tục trên [a,b] đến không gian R.
3.5: Cho điểm . Phép lấy đối xứng qua trục Oy là một phép biến đổi tuyến tính. Nghĩa là: là một phép biến đổi tuyến tính. 3.5: Cho điểm . Phép lấy đối xứng qua trục Oy là một phép biến đổi tuyến tính. Nghĩa là: là một phép biến đổi tuyến tính.
4. Tính chất: 4. Tính chất:
4.1 Ánh xạ tích của 2 ánh xạ tuyến tính và lại là 1 ánh xạ tuyến tính. 4.1 Ánh xạ tích của 2 ánh xạ tuyến tính và lại là 1 ánh xạ tuyến tính.
4.2 Qua một ánh xạ tuyến tính, một hệ vec-tơ phụ thuộc tuyến tính lại biến thành 1 hệ vec-tơ phụ thuộc tuyến tính. 4.2 Qua một ánh xạ tuyến tính, một hệ vec-tơ phụ thuộc tuyến tính lại biến thành 1 hệ vec-tơ phụ thuộc tuyến tính.
Nghĩa là: là 1 ánh xạ tuyến tính và là 1 hệ n vec-tơ phụ thuộc tuyến tính trong V thì hệ cũng là hệ phụ thuộc tuyến tính trong W. Nghĩa là: là 1 ánh xạ tuyến tính và là 1 hệ n vec-tơ phụ thuộc tuyến tính trong V thì hệ cũng là hệ phụ thuộc tuyến tính trong W.
Ngược lại, nếu hệ là hệ độc lập tuyến tính trong W thì hệ độc lập tuyến tính trong V. Ngược lại, nếu hệ là hệ độc lập tuyến tính trong W thì hệ độc lập tuyến tính trong V.
Chứng minh: Do phụ thuộc tuyến tính nên: tồn tại ít nhất một sao cho: Chứng minh: Do phụ thuộc tuyến tính nên: tồn tại ít nhất một sao cho:
Suy ra:
Hay: (*)
Vậy tồn tại ít nhất một sao cho (*) xảy ra nên hệ phụ thuộc tuyến tính. Vậy tồn tại ít nhất một sao cho (*) xảy ra nên hệ phụ thuộc tuyến tính.
Chú ý: Ánh xạ tuyến tính có thể biến 1 hệ độc lập tuyến tính thành một hệ phụ thuộc tuyến tính. Chú ý: Ánh xạ tuyến tính có thể biến 1 hệ độc lập tuyến tính thành một hệ phụ thuộc tuyến tính.
5.Định lý cơ bản về sự xác định ánh xạ tuyến tính: 5.Định lý cơ bản về sự xác định ánh xạ tuyến tính:
5.1 Ví dụ mở đầu: 5.1 Ví dụ mở đầu:
Cho là một ánh xạ tuyến tính với: Cho là một ánh xạ tuyến tính với:
L(1,1) = (-1,1,2,3)
L(-1,1)=(2,0,2,3)
Tìm f(5,3)? Tổng quát, hãy xác định công thức f(x,y)? Tìm f(5,3)? Tổng quát, hãy xác định công thức f(x,y)?
Giải: Ta biểu thị tuyến tính vec-tơ (5,3) theo hai vec-tơ (1,1) và (-1,1). Giải: Ta biểu thị tuyến tính vec-tơ (5,3) theo hai vec-tơ (1,1) và (-1,1).
Ta có: (5, 3) = 4(1, 1) 1.(-1, 1)
Khi đó, do L là ánh xạ tuyến tính nên: L(5, 3) = L(4.(1, 1) 1.(-1, 1)) = 4L(1, 1) L(-1,1) Khi đó, do L là ánh xạ tuyến tính nên: L(5, 3) = L(4.(1, 1) 1.(-1, 1)) = 4L(1, 1) L(-1,1)
Vậy: L(5, 3) = 4.(-1, 1, 2, 3) (2, 0, 2, 3) = (-6, 4, 6, 9) Vậy: L(5, 3) = 4.(-1, 1, 2, 3) (2, 0, 2, 3) = (-6, 4, 6, 9)
Tương tự:
Từ đó, dễ dàng tìm được công thức của L(x,y). Từ đó, dễ dàng tìm được công thức của L(x,y).
Nhận xét: ta chỉ có thể biểu thị tuyến tính mọi vec-tơ (x,y) theo 2 vec-tơ (1, 1) và (-1, 1) nếu hệ (1, 1) , (-1, 1) là cơ sở của Nhận xét: ta chỉ có thể biểu thị tuyến tính mọi vec-tơ (x,y) theo 2 vec-tơ (1, 1) và (-1, 1) nếu hệ (1, 1) , (-1, 1) là cơ sở của
5.2 Định lý:
Cho một cơ sở của không gian vec-tơ n chiều V và là n vec-tơ tùy ý của không gian vec-tơ W. Khi đó, tồn tại duy nhất một ánh xạ tuyến tính sao cho Cho một cơ sở của không gian vec-tơ n chiều V và là n vec-tơ tùy ý của không gian vec-tơ W. Khi đó, tồn tại duy nhất một ánh xạ tuyến tính sao cho
Ta bảo: ánh xạ tuyến tính hoàn toàn xác định bởi ảnh của một cơ sở. Ta bảo: ánh xạ tuyến tính hoàn toàn xác định bởi ảnh của một cơ sở.
Chứng minh:
Sự tồn tại: Giả sử x là 1 vec-tơ bất kỳ của V. Khi đó:
Ta đặt:
Vậy: f là 1 ánh xạ đi từ V vào W và hiển nhiên Vậy: f là 1 ánh xạ đi từ V vào W và hiển nhiên
Ta cần chứng minh: f là ánh xạ tuyến tính. Ta cần chứng minh: f là ánh xạ tuyến tính.
Thật vậy vơi mọi vec-tơ x, y thuộc V. Ta có: .
Ta cần chứng minh:
Thật vậy, ta có:
Do đó: Do đó:
Vậy f là ánh xạ tuyến tinh. Vậy f là ánh xạ tuyến tinh.
Sự duy nhất:
Giả sử còn tồn tại ánh xạ tuyến tính mà Giả sử còn tồn tại ánh xạ tuyến tính mà
Khi đó: với mọi ta có:
Vậy f = g, hay f duy nhất.
5.3 Các ví dụ: 5.3 Các ví dụ:
5.3.1 Trong xét cơ sở chính tắc và trong cho 3 vec-tơ v1= (1, 1) ; v2 = (2, 3) ; v3 = (4, 5). Hãy xác định ánh xạ tuyến tính sao cho: 5.3.1 Trong xét cơ sở chính tắc và trong cho 3 vec-tơ v1= (1, 1) ; v2 = (2, 3) ; v3 = (4, 5). Hãy xác định ánh xạ tuyến tính sao cho:
5.3.2 Trong không gian cho hai hệ vec-tơ: 5.3.2 Trong không gian cho hai hệ vec-tơ:
Hỏi có tồn tại duy nhất hay không toán tử tuyến tính f (g) trên sao cho ( ). Nếu có, hãy xác định f (g)? Hỏi có tồn tại duy nhất hay không toán tử tuyến tính f (g) trên sao cho ( ). Nếu có, hãy xác định f (g)?
6. Nhân (Kernel) và ảnh (Image) của ánh xạ tuyến tính: 6. Nhân (Kernel) và ảnh (Image) của ánh xạ tuyến tính:
6.1 Định nghĩa:
Cho là ánh xạ tuyến tính. Cho là ánh xạ tuyến tính.
Nhân của ánh xạ tuyến tính f là tập hợp: Nhân của ánh xạ tuyến tính f là tập hợp:
Ảnh của ánh xạ tuyến tính f là tập hợp: Ảnh của ánh xạ tuyến tính f là tập hợp:
Số chiều của Imf và kerf tương ứng gọi là hạng và số khuyết của f, ký hiệu lần lượt là rank(f) và def(f). (nghĩa la dim(imf) rank(f); dim(kerf) def(f) ) Số chiều của Imf và kerf tương ứng gọi là hạng và số khuyết của f, ký hiệu lần lượt là rank(f) và def(f). (nghĩa la dim(imf) rank(f); dim(kerf) def(f) )
6.2 Ví dụ: Cho phép biến đổi tuyến tính: 6.2 Ví dụ: Cho phép biến đổi tuyến tính:
Xác định kerf và imf?
